El ejemplo más antiguo de geometría aplicada del mundo

Recientemente, se ha descrito una tablilla cuneiforme de arcilla que data de 3700 años desde Babilonia como "uno de los ejemplos más antiguos de geometría aplicada del mundo antiguo". La tablilla está inscrita en un lado con lo que parece ser un mapa de un campo completo con medidas de topógrafo que obedecen a relaciones trigonométricas. En el reverso hay una tabulación que contiene los resultados de los cálculos de área del topógrafo. La evidencia demuestra que la comprensión de las matemáticas por parte de los antiguos "durante esta era era más sofisticada de lo que se suponía".

Si. 427

Una tablilla cuneiforme babilónica de 3700 años revela un antiguo conocimiento de la trigonometría. El anverso muestra el mapa de campo, números de medición de la encuesta tabulados al revés.

La tableta, denominada Si. 427 (que se asemeja a una galleta), fue desenterrada en 1894 por la expedición arqueológica francesa del padre Jean-Vincent Scheil en Tell Abu Habba, la antigua Sippar-Yahrurum, de la antigua Babilonia, al suroeste de la actual Bagdad. Se almacenó en el Musée impérial de Constantinople, ahora el Museo de Arqueología de Estambul. El significado de la tableta permaneció sin descubrir durante más de un siglo, hasta que Daniel Mansfield, matemático de la Universidad de Nueva Gales del Sur, Australia (UNSW) reconoció su importancia.

El descubrimiento del propósito de la tableta desafía la forma en que se entiende la historia de las matemáticas.

El descubrimiento del propósito de la tableta desafía la forma en que se entiende la historia de las matemáticas. Específicamente, que la aplicación de la teoría trigonométrica, comúnmente atribuida al matemático griego Pitágoras (c. 570-c. 495 aC), fue precedida por los babilonios por más de mil años.

Si. 427 es una tablilla notable, que data del período babilónico antiguo [OB] 1900–1600 a. C. Esta datación se basa en comparaciones de cierto vocabulario que se encuentra en otras tabletas OB. Revela detalles geométricos y legales sobre una parcela de tierra agrícola que pertenece a un terrateniente prominente llamado Sîn-b?l-apli, quien es conocido por otras tablillas cuneiformes OB de Sippar.4 El plan de estudio se elaboró ??para establecer el área del campo y nuevos límites después de la venta de una parte de la tierra. Se cree que la tierra se encuentra entre un río y una carretera. La mitad superior era pantanosa, y también había un piso de trilla y una torre en el terreno, que debieron actuar como puntos fijos para el levantamiento. Si. 427 es el único ejemplo conocido de un documento catastral (mapa del topógrafo) de este período.

La traducción de la tabla revela que el campo se encuestó dos veces: primero con formas que tienen alineaciones horizontales, seguido de una segunda encuesta usando formas con alineaciones verticales.5 Esto probablemente dio una forma de verificar los resultados y dar la suma más precisa de la áreas del campo.

La parte superior del anverso de Si. 427 da un área: “de un campo pantanoso junto con la torre y la era”, cuya área OB se mide en “1 bur GANA 45 sar” (aproximadamente 16 acres).

La parte inferior del anverso da: “un área total del campo” de “1 bur 1 e?e 4 iku 33 sar” que es aproximadamente 25 acres. Las unidades de medida OB se dan en forma sexagesimal (ver más abajo).

La parte superior del reverso muestra una tabla de mediciones realizadas por el topógrafo del campo.

La parte inferior del reverso indica: “total (superficie) del campo, junto con varias marismas de Sîn-b?l-apli además de [medición OB del] campo adquirido mediante la compra” de “7 iku” (aprox. 6 acres).

Por qué la encuesta era esencial en Babilonia

La topografía debe haber sido esencial para restablecer los límites de la tierra después de que los ríos Tigris y Éufrates se inundaron regularmente, arrastrando los marcadores de límites y la tierra. Además, los agricultores necesitaban saber cuál era el área de su tierra, para poder calcular la semilla necesaria para sembrar para obtener los mejores rendimientos de los cultivos. Esa información también fue esencial para el gobierno de Babilonia, que exigió impuestos a los agricultores, según el área de su tierra. Los babilonios construyeron caminos y canales, que necesariamente requirieron topografía. Otro factor es que durante el período OB, las tierras que normalmente pertenecían a las propiedades y templos del rey estaban comenzando a venderse y estaban disponibles para que los ciudadanos las compraran. Por lo tanto, la tierra debía medirse, cartografiarse, dividirse con precisión y establecerse cuidadosamente nuevos límites para evitar disputas. Por lo tanto, la profesión de agrimensor era muy respetada e implicaba mucha formación en matemáticas, derecho y método de levantamiento de tierras.

El Si. 427 muestra que los topógrafos babilónicos eran muy hábiles para producir límites matemáticamente precisos. La información grabada en la arcilla revela los métodos del agrimensor en el desempeño de sus funciones.

Otras inscripciones cuneiformes descubiertas en el período OB permiten a los historiadores reconstruir el desarrollo del estudio de la tierra, que también incluyó la resolución de disputas de límites privados. Esto se indica en un texto cuneiforme, sobre un joven topógrafo, Enki-manšum, que se jacta de su formación como escriba:

“Cuando voy a dividir una parcela, puedo dividirla; cuando salgo a repartir un campo, puedo repartir las piezas, de modo que cuando los hombres agraviados se pelean, calmo sus corazones ”7.
Fundamentos de la encuesta babilónica
Si. 427 representa un mapa elaborado por un topógrafo para calcular el área y establecer los límites de la parcela de tierra que estaba cartografiando. Mansfield explica:

“Al igual que lo haríamos hoy, tienes individuos privados tratando de averiguar dónde están sus límites terrestres, y el topógrafo sale, pero en lugar de usar un equipo de GPS, usan triples pitagóricos” 8.
Es probable que el topógrafo partiera primero a lo largo del límite más largo, a lo que nos referimos como un "triple pitagórico" (PT, ver más abajo), que es una especie de triángulo rectángulo (en ángulo). El topógrafo de Si. 427 también hizo uso de una variedad de PT diagonales probablemente elegidos para coincidir con la forma del campo.9 Luego, habría extendido los lados de los PT para formar líneas perpendiculares, esenciales para determinar con precisión las áreas de las áreas cerradas. Las líneas perpendiculares sucesivas probablemente se habrían establecido estableciendo nuevos TP o midiendo con una vara de medir y una cuerda10 distancias iguales a lo largo de líneas paralelas. Si. 427 es muy probablemente el registro del proceso topográfico real. Este es el escenario más probable, que puede probarse con el descubrimiento de más tabletas de este período.

El topógrafo probablemente registró sus medidas en la tablilla de arcilla que tenía en la mano con un lápiz de madera con cuñas mientras se ocupaba de sus asuntos. Para calcular el área de la tierra, primero quería describirla en términos de formas, cuyas áreas podrían calcularse fácilmente (por ejemplo, cuadrados, rectángulos, triángulos rectángulos y trapezoides rectos). Los rectángulos se habrían descrito en términos de dos triángulos rectángulos PT. El topógrafo midió las distancias desde puntos fijos, como la esquina del campo, la torre o la era. Una vez que comenzó a medir distancias, registró todo lo que puso en la arcilla. Sin duda, clavó clavijas boscosas en el suelo como puntos fijos cuando era necesario, al igual que lo hacen los topógrafos modernos. Su objetivo sería dividir la tierra de la manera más eficiente posible en formas estándar, cuyas áreas podrían calcularse fácilmente. Lo que se encontró fue que las formas (PT) que eligió estaban estandarizadas y elegidas para dar números enteros precisos.

Triples pitagóricos
Una forma infalible y factible para que los topógrafos o dibujantes construyeran líneas fronterizas perpendiculares era hacer uso del llamado "triple pitagórico" (PT), (que en realidad son triples babilónicos, utilizados más de 1000 años antes de Pitágoras). Mansfield afirma de estos:

"Una vez que comprenda qué son las triples pitagóricas, su sociedad habrá alcanzado un nivel particular de sofisticación matemática". 11
Los PT son tipos específicos de triángulos que aseguran que sus lados sean verdaderos ángulos rectos entre sí (perpendiculares). Considere el siguiente triángulo rectángulo, con lados etiquetados como base "b", altura "h". El lado diagonal largo "d" es igual al cuadrado de los otros dos lados sumados, que se puede expresar como: b2 + h2 = d2.

Pitágoras-triple
Un triple pitagórico, utilizado por el antiguo topógrafo babilónico.
Cuando se trata de calcular los lados de estos triples, había ciertos tamaños que eran más fáciles de manejar en términos de producir números enteros para facilitar los cálculos. Específicamente, triángulos (3, 4, 5), (5, 12, 13) y (8, 15, 17). Fueron estos PT específicos los que el topógrafo prefirió usar 

en términos de conveniencia para producir una cuadrícula sistemática con verdaderas líneas paralelas a fin de resolver con precisión el área del terreno que estaba topografiando. Más adelante se comenta cómo sabía qué PT usar (ver Plimpton 322).

Un factor importante en el proceso de la encuesta fue la ampliación de los TP. Esto se debe a que la escala conserva las razones y proporciones de los lados (se les llama triángulos similares). Dichos triángulos podrían marcarse en el suelo y extenderse con una cuerda y una varilla de medición hasta la longitud deseada utilizando los cálculos de PT.

Tal era la tarea esencial del antiguo topógrafo babilónico, que permitía que los lados del rectángulo se estiraran con la vista para formar líneas fronterizas perpendiculares. Tal habilidad demostró que los topógrafos babilónicos tenían un conocimiento profundo de la geometría de los rectángulos y triángulos rectángulos y lo usaban para resolver problemas prácticos, como la división de un campo por derechos de propiedad.

Según Mansfield, una forma sencilla de hacer un ángulo recto preciso es hacer un rectángulo con lados 3 y 4 y 5 unidades en diagonal. Estos números especiales forman el triple de Pitágoras 3-4-5 y un rectángulo con estas medidas tiene ángulos rectos matemáticamente perfectos, lo que sería importante para los antiguos topógrafos. Mansfield explica:

“Los antiguos topógrafos que hicieron Si. 427 hizo algo aún mejor: utilizaron una variedad de diferentes triples pitagóricos, tanto como rectángulos como triángulos rectángulos, para construir ángulos rectos precisos. Esto plantea un problema muy particular: su exclusivo sistema numérico de base 60 significa que solo se pueden usar algunas formas pitagóricas. Parece que el autor de Plimpton 322 [ver más adelante] revisó todas estas formas pitagóricas para encontrar estas útiles. Esta comprensión profunda y altamente numérica del uso práctico de los rectángulos se gana el nombre de 'proto-trigonometría', pero es completamente diferente a nuestra trigonometría moderna que involucra sin, cos y tan "12.
Cuando se trataba de las propiedades de los triángulos, los antiguos babilonios no pensaban en términos de ángulos, o sin, cos, tan (estos son valores aproximados). Más bien, pensaron en términos de rectángulos, que podrían dividirse en triángulos rectángulos, cuyos lados podrían calcularse con precisión en términos de números enteros.

Matemáticas babilónicas
Entender el mapa grabado en Si. 427 y el método del topógrafo, es útil una apreciación de las matemáticas babilónicas. Las matemáticas babilónicas se fundaron sobre un sistema de numeración de base 60 (sexagesimal), que posiblemente sea el más sofisticado y poderoso de todos los sistemas numéricos jamás ideados. Todavía lo usamos hoy para decir la hora, calcular ángulos y para sistemas de coordenadas geográficas. Nuestro conocido sistema de base 10 probablemente surgió de personas que usaban todos los dedos para contar. El sistema de numeración babilónico estaba indisolublemente ligado a su comprensión de la geometría. Su sistema numérico es completamente diferente al nuestro, que se desarrolló a partir de símbolos hindúes y árabes con base diez. Nuestro sistema utiliza 9 símbolos especiales "1–9" y un "0" para indicar cero.

Alternativamente, los escribas babilónicos podrían escribir cualquier número con solo dos símbolos cuneiformes: 1) un guión vertical (???? hecho en arcilla) para representar unidades (por ejemplo, 3 guiones equivalen a 3, y el cuarto y el séptimo se apilan (???? para ahorrar espacio). 2 ) Un símbolo de cuña izquierda-derecha (????) representa decenas, por ejemplo, 3 cuñas equivalen a 30 (y se apilan (????) para representar los números 40 y 50). Entonces, por ejemplo, 47 se escribiría con 4 cuñas a la izquierda y 7 guiones a la derecha para hacer un "dígito": "47". Los dígitos babilónicos pasaron del 1 al 59 (consulte la tabla a continuación). No había un dígito separado para el cero, más bien, se dejaría un espacio en la arcilla.

commons.wikimedia.org Números babilónicos
Los números cuneiformes babilónicos del 1 al 59 se construyeron a partir de 2 símbolos de cuña individuales.
Tal sistema se llama un "sistema de valor posicional" (refiriéndose a la posición de cada dígito en un número), en este caso uno sexagesimal. Sin embargo, hay un elemento del sistema de base 10 (como el nuestro) en el sistema babilónico, porque los 59 dígitos se construyeron a partir de un símbolo de "unidad" y un símbolo de "diez".

Cuando se trata del número "60", se representaría como ???? (+ espacio). Significativamente, aparte del espacio, este número parece idéntico al "1" babilónico. Esto puede parecer problemático a nuestros ojos, pero aparentemente no para los escribas babilónicos. En nuestra notación moderna de base 10, el 60 babilónico se puede expresar como 1 x 601 + 0.

Lo que distingue al sistema numérico babilónico de base 60 del sistema de base 10 con el que estamos familiarizados es el número de "factores" disponibles en el sistema babilónico. Un "factor" es un número que se divide en otro número exactamente sin dejar un resto. En nuestro sistema numérico de base 10, los residuos se expresan como números fraccionarios que se colocan a la derecha del punto decimal (denominado sistema de "punto flotante"). En nuestro sistema numérico moderno, las fracciones no regulares dan respuestas repetidas (por ejemplo, 3.333 ... etc.). Los babilonios preferían resultados exactos, por lo que evitarían calcular números (divisiones i

nvolucrado en el cálculo de las longitudes de los lados de triángulos o rectángulos) que no daría resultados exactos.

El sistema babilónico usó los factores 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60 para la base 60, mientras que nuestro sistema occidental solo tiene los factores 1, 2, 5 y 10 para base 10. Aunque el sistema de base 60 no se usa de forma ubicua como antes en Babilonia, tiene algunas ventajas clave sobre nuestro sistema de base 10, porque el número 60 tiene muchos más divisores en comparación con cualquier número entero positivo más pequeño. Entonces, cuando se trataba de calcular los lados de los triángulos (por división), esto se volvió esencial para el topógrafo, ya que ofrecía un método de cálculo poderoso y resultados muy precisos y exactos.

Los babilonios tampoco usaban las tablas de multiplicar como estamos familiarizados. Más bien, hicieron uso de tablas de cuadrados (hasta 59 cuadrados enormes). Estos estaban disponibles para los escribas (o topógrafos) en tabletas de arcilla.

Tabulación teórica de Plimpton 322
Plimpton-322
Plimpton 322 es una tableta de arcilla reconocida como una tabla trigonométrica.
La información trigonométrica utilizada por el topógrafo de Si. 427 proviene de otra tableta, descubierta en el período OB. Esta tableta en particular se denomina Plimpton 322 (p. 322) y se encuentra en el G.A. Plimpton Collection en la Universidad de Columbia y ha sido discutido previamente en la revista Creation.13 Es de la ciudad de Larsa, data de c. 1.800 a. C., que lo sitúa en el reinado de Hammurabi. Se ha traducido e identificado como el ejemplo más antiguo descubierto hasta ahora de una tabla trigonométrica basada en razones, que es asombrosamente precisa y trata con números excepcionalmente grandes. Sin embargo, hasta el reciente descubrimiento de Si. 427 y su propósito, no se reconoció qué tipo de problema ayudó a resolver la P. 322. La nueva evidencia obtenida de Si. 427 revela el verdadero propósito de la p. 322. Ahora se entiende que representa un cuadro completo de triples pitagóricos, que se relacionan con triángulos y rectángulos. También contiene información que permitió a los topógrafos babilónicos utilizar la información en encuestas del mundo real.

Los seres humanos, creados a imagen de Dios, siempre han sido inteligentes e ingeniosos, y no han surgido de antepasados ??primitivos subhumanos como afirma la teoría de la evolución humana.
Ahora se teoriza que el topógrafo que hizo la tableta Si. 427 debe haber utilizado herramientas físicas basadas en esta información tabulada en la P. 322, así como la cuerda estándar y la caña de medir. Probablemente se trataba de un conjunto de plantillas de triple triángulo pitagóricas, que probablemente guardaba en su taller junto con sus otras herramientas.

La información proporcionada en la p. 322 proporcionó la información que el topógrafo necesitaba para realizar dichos cálculos. El nuevo descubrimiento de Si. 427 revela la función de ambas tabletas — P. 322 es la solución teórica a los desafíos del mundo real que encontró el topógrafo babilónico de Si. 427.

Ambas tablas son tremendamente importantes desde el punto de vista matemático e histórico para comprender aspectos de la vida diaria en la antigua Babilonia. Si. 427 representa la aplicación práctica y P. 322, la comprensión teórica de la geometría. Las matemáticas involucradas fueron impresionantemente avanzadas para la época.

Topografía y Escritura
El antiguo conocimiento babilónico es totalmente consistente con lo que sabemos de la Biblia, que no guarda silencio sobre el tema de la topografía y la medición. En primer lugar, reconocemos que los seres humanos, creados a imagen de Dios, siempre han sido inteligentes e ingeniosos, y no han surgido de antepasados ??primitivos subhumanos como afirma la teoría de la evolución humana. De las Escrituras sabemos que:

Dentro de una generación desde la creación de Adán, Caín construyó la primera "ciudad" (Génesis 4:17).
Tubal-Caín, en la séptima generación, logró forjar instrumentos de bronce y hierro (Génesis 4:22).
En la décima generación, Dios le dijo a Noé que preparara un arca para la salvación de su casa y los animales que iban a bordo (Génesis 7: 1). El arca era una vasija enorme que medía 300 × 50 × 30 codos (aproximadamente 140 × 23 × 13,5 metros o 459 × 75 × 44 pies) (Génesis 6:15). Tal empresa debe haber requerido habilidades en dibujo y topografía, así como técnicas de construcción sofisticadas.
Luego está el interesante versículo en Génesis 10:25 que se refiere a la "división de la tierra" en "los días de Peleg", que ha recibido varias interpretaciones, 14 pero que, en contexto, se refiere a la división lingüística, de grupos de personas después de la confusión de lenguas de Babel. Sin embargo, esta división también podría haber incluido un estudio de los territorios terrestres que los diversos grupos de personas reclamarían después de Babel (Génesis 10:25).
La torre de Babel (Génesis 11: 4-5) fue el comienzo de la civilización y el imperio posteriores al Diluvio bajo el liderazgo de Nimrod. Fue uno de los bisnietos de Noah, a través de su hijo Ham. Babel y su torre habrían requerido una gran cantidad de planificación, previsión, dibujo y estudio, que debieron ser habilidades esenciales y requeridas.

El período OB (1900-1600 aC) en el que se pueden ver pruebas sólidas de habilidades de levantamiento y redacción. No es de extrañar, visto en términos de historia bíblica. Tales habilidades y habilidades son siempre "más sofisticadas de lo que se suponía anteriormente" para los pueblos antiguos, cuando las presuposiciones evolutivas se sostienen como verdaderas.

La encuesta y las habilidades de medición y registro estrechamente asociadas están consagradas en la Ley mosaica, por ejemplo:
“No quitarás el lindero de tu prójimo, que los hombres de antaño pusieron en tu heredad que heredarás en la tierra que Jehová tu Dios te da en posesión” (Deuteronomio 19: 1).
El punto es que alguien no sabrá o no podrá probar que un hito o una frontera se ha movido a menos que primero se haya medido en relación con un punto fijo y registrado para la posteridad, que son fundamentales para la topografía.
Los pesos y medidas honestos y precisos se consideran esenciales para una sociedad buena, moral y funcional, como se estipula en Deuteronomio 25: 13-16. Una medida estándar inmutable es esencial para el funcionamiento de la civilización. Las medidas estandarizadas e invariables son la base del moderno Sistema Internacional de Unidades (SI).
Se ordenó que los pastizales fueran inspeccionados y medidos para que fueran entregados a los levitas como parte de su herencia cuando los israelitas habían poseído Canaán (Números 35: 4-5).
Todos estos ejemplos, requirieron habilidades de medición y registro, utilizando diversas técnicas y herramientas diseñadas especialmente para el propósito.

Conclusión
Las antiguas tablillas de arcilla discutidas en este artículo Si. 427 y Plimpton 322 son ejemplos de matemáticas y estudios sofisticados que se remontan a los inicios de la civilización. El período de tiempo de estos artefactos es posterior a Babel. Sin embargo, nos llevan al alcance de los ingenieros, arquitectos y topógrafos originales que ayudaron a construir la torre de Babel y el primer imperio, bajo el liderazgo de Nimrod. Él, a su vez, habría aprendido todo lo que sabía de su padre Ham, quien a su vez aprendió de su padre Noé, quien debió poseer grandes habilidades arquitectónicas y de ingeniería desarrolladas en el mundo anterior al Diluvio.

Las personas, creadas a la imagen de Dios, siempre han sido inteligentes e ingeniosas, los antiguos artefactos babilónicos son testimonio de la exactitud de la historia bíblica como se describe en Génesis 1-11, que habla en contra de la supuesta ascendencia primitiva de los humanos, desde hace mucho tiempo.